Question

（本题满分12分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，)在直线y＝x＋上．数列{b_n}满足b_n＋2－2b_n＋1＋b_n＝0(n∈N^*)，b₃＝11，且其前9项和为153.

(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)设c_n＝，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

 

Answer 1

【答案】

解：(1)由已知得＝n＋，∴S_n＝n²＋n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝n²＋n－ (n－1)²－ (n－1)＝n＋5；

当n＝1时，a₁＝S₁＝6也符合上式．∴a_n＝n＋5.

由b_n＋2－2b_n＋1＋b_n＝0(n∈N^*)知{b_n}是等差数列，

由{b_n}的前9项和为153，可得＝9b₅＝153，

得b₅＝17，又b₃＝11，∴{b_n}的公差d＝＝3，b₃＝b₁＋2d，

∴b₁＝5，∴b_n＝3n＋2.    ……………….6分

(2)c_n＝＝

∴T_n＝(1－＋－＋…＋－)

＝ (1－)．∵n增大，T_n增大，∴{T_n}是递增数列．∴T_n≥T₁＝.

T_n＞对一切n∈N^*都成立，只要T₁＝＞，

∴k＜19，则k_max＝18.             ……………….12分

【解析】略