Question

如图，抛物线y=-x²+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P₁，P₂，…，P_n-1，过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q₁，Q₂，…，Q_n-1，从而得到n-1个直角三角形△Q₁OP₁，△Q₂P₁P₂，…，△Q_n-1P_n-2P_n-1．当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为

 

．

Answer 1

分析：由题意知

lim

n→∞

(S1+S2+…+Sn-1)=

lim

n→∞

1

2n

[(n-1)-

12+ 22+…+(n-1)2

n2

]，由此能够推导出这些三角形的面积之和的极限．

解答：解：p1(

1

n

，0)，p2(

2

n

，0)，…，pn-1(

n-1

n

，0)；Q1(

1

n

，1-(

1

n

)2)，Q2(

2

n

，1-(

2

n

)2)，…，Qn-1(

n-1

n

，1-(

n-1

n

)2)，记△Q_nP_n-1P_n的面积为S_n，则S₁=

1

2

-

1

n

-[1-(

1

n

)2]，S₂=

1

2

-

1

n

-[1-(

1

n

)2]，…，S_n-1=

1

2

-

1

n

-[1-(

n-1

n

)2]；

lim

n→∞

(S1+S2+…+Sn-1)=

lim

n→∞

1

2n

[(n-1)-

12+ 22+…+(n-1)2

n2

]=

1

2

-

lim

n→∞

(n-1)(n-2)(2n-3)

12n3

=

1

2

-

1

6

=

1

3

．
答案：

1

3

．

点评：本题考查极限的求法，解题时要注意观察分析能力和归纳总结能力的培养．