Question

已知抛物线L：x²=2py（p＞0）和点M（2，2），若抛物线L上存在不同的两点A、B满足

AM

+

BM

=0．
（1）求实数p的取值范围；
（2）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用

AM

+

BM

=0得M为AB的中点，把直线AB的方程与抛物线方程联立借助于判别式大于0求出实数p的取值范围；
（2）先利用圆过A、B、C三点求出圆心坐标和点C坐标之间的关系，再利用抛物线L在点C处切线与NC垂直求出点C的坐标即可．

解答：解：（1）设A，B两点的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
∵

AM

+

BM

=0，查得M为AB的中点，即x₁+x₂=4．显然直线AB与x轴不垂直，
设直线AB的方程为y-2=k（x-2），
即y=kx+2-2k，将y=kx+2-2k代入x²=2py中，得x²-2pkx+4（k-1）p=0．
∴

△=4p2k2-16(k-1)p＞0 x1+x2=2pk=4

，∴p＞1，故p的取值范围为（1，+∞）．
（2）当p=2时，由（1）求得A，B的坐标分别为A（0，0），B（4，4）．
假设抛物线L：x²=4y上存在点C(t，

t2

4

)（t≠0且t≠4），
使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．设圆的圆心坐标为N（a，b），
∵

|NA|=|NB |NA|=|NC

，∴

a2+b2 = (a-4)2+(b-4)2 a2+b2 = (a-t)2+(b- t2 4 )2

即

a+b=4 4a+tb=2t+ 1 8 t3

解得

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8

．
∵抛物线L在点C处切线的斜率为k=y′|x=t=

t

2

，而t≠0，且该切线与NC垂直，
∴

b- t2 4

a-t

•

t

2

=-1．
即2a+bt-2t-

1

4

t3=0．
将a=-

t2+4t

8

，b=

t2+4t+32

8

代入上式，得t³-2t²-8t=0，
即t（t-4）（t+2）=0．
∵t≠0且t≠4，
∴t=-2．故存在满足题设的点C，其坐标为（-2，1）．

点评：本题综合考查了直线与圆锥曲线以及圆于圆锥曲线的综合问题，是对知识的综合，是道难题．