Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D、E分别为AA₁、B₁C的中点，DE⊥平面BCC₁。

（Ⅰ）证明：AB=AC；

（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°，求B₁C与平面BCD所成的角的大小。

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）30°

解析:

本题考查线面垂直证明线面夹角的求法，第一问可取BC中点F，通过证明AF⊥平面BCC₁,再证AF为BC的垂直平分线，第二问先作出线面夹角，即证四边形AFED是正方形可证平面DEF⊥平面BDC，从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。

解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。

连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。

（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=60^0..

    设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。

由得2AD=，解得AD=。

故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。

因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。

连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。

连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，

所以∠ECH=30⁰，即与平面BCD所成的角为30⁰.

解法二：

（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。

设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.

于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以    AB=AC。

（Ⅱ）设平面BCD的法向量则

又=（-1，1， 0），

=（-1，0，c）,故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).

又平面的法向量=（0，1，0）

由二面角为60°知，=60°，

故  °，求得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

于是   ， 

，

            °

所以与平面所成的角为30°