Question

已知数列的前项和为，数列是公比为的等比数列，是和的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.

Answer 1

（1）；（2）.

解析试题分析：（1）数列中可根据通项的特点选择对应的方法来求，反之也可根据，利用来再求，此题可先根据条件求出，然后就不难求了；（2）由（1）不难得到数列通项公式，根据通项公式的特点应选择用错位相减法来求数列前项和.特殊数列的求和方法通常有：①公式法；②分解法；③拆项相消法；④错位相减法；⑤奇偶分析法；⑥倒序相加法等等，关键是掌握根据通项所具有的特点来选择对应的求和方法，这份试卷中已经考查了两种特殊数列求和方法——拆项相消法和错位相减法，通常一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到的数列求前项的和时常用错位相减法，这个方法不难掌握，但要把题目做正确还是有一定难度的，故有“人人会做，人人都有可能做不对”一说，所以要特别关注易错之处.
试题解析：（1）∵是公比为的等比数列，∴，
∴，从而，，
∵是和的等比中项，∴，解得或，
当时，，不是等比数列，∴，∴，
当时，，∵符合，∴；                （6分）
（2）∵,
∴          ①
①得：   ②
①②得：，
∴.                                                                （14分）
考点：1.等比数列通项公式及前项和公式；2.等比中项；3.特殊数列求和方法之一：错位相减法.