Question

已知O是锐角三角形ABC的外心，△BOC，△COA，△AOB的面积数依次成等差数列．
（1）推算tanAtanC是否为定值？说明理由；
（2）求证：tanA，tanB，tanC也成等差数列．

Answer 1

分析：如图所示，设△ABC的外接圆半径为R，则S△BOC=

1

2

R2sin∠BOC=

1

2

R2sin2A，S△COA=

1

2

R2sin2B，S△AOB=

1

2

R2sin2C，由题意可得2S_△COA=S_△BOC+S_△AOB，整理可得2sin2B=sin2A+sin2C，结合三角形的内角和公式及和差角公式整理得 sinA•sinC=3cosA•cosC．
（1）因△ABC是锐角三角形，A≠

π

2

，C≠

π

2

，可知cosA≠0，cosC≠0，可求tanAtanC．
（2）要证tanA，tanB，tanC成等差数列．只要证明2tanB=tanA+tanC即可

解答：解：如图所示，设△ABC的外接圆半径为R，
则S△BOC=

1

2

R2sin∠BOC=

1

2

R2sin2A，
同理：S△COA=

1

2

R2sin2B，S△AOB=

1

2

R2sin2C．
∵S_△BOC，S_△COA，S_△AOB成等差数列，
∴2S_△COA=S_△BOC+S_△AOB，
即2×

1

2

R2sin2B=

1

2

R2sin2A+

1

2

R2sin2C．
∴2sin2B=sin2A+sin2C，∴2sin2B=sin[（A+C）+（A-C）]+sin[（A+C）-（A-C）]，
∴4sinBcosB=2sin（A+C）cos（A-C）．
又A+B+C=π，故sinB=sin（A+C）≠0．
∴2cosB=cos（A-C）．
又A+B+C=π，∴-2cos（A+C）=cos（A-C）．
整理得 sinA•sinC=3cosA•cosC．
（1）因△ABC是锐角三角形，A≠

π

2

，C≠

π

2

，可知cosA≠0，cosC≠0，∴tanAtanC=3，
故tanAtanC为定值．
（2）∵tanB=-tan(A+C)=-

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

tanA+tanC

1-3

=

1

2

(tanA+tanC)．∴2tanB=tanA+tanC，
即tanA，tanB，tanC成等差数列．

点评：本题主要以等差数列的性质为切入点，主要考查了三角形中正弦定理、两角和与差的三角公式，三角形的内角和公式等知识的综合应用．