【题目】为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为
的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据好下表：
超过1小时 | 不超过1小时 | |
男 | 20 | 8 |
女 | 12 | m |
（Ⅰ）求
，；
（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？
（Ⅲ）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.
附：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【答案】（Ⅰ）
，
（Ⅱ）没有95%把握（Ⅲ）4人
【解析】
（Ⅰ）由已知得该校女生人数，利用分层抽样的原则列等式得m值，由列联表中的数据可得n值；（Ⅱ）由列联表计算
的值，对照临界值，即可得出结论；（Ⅲ）由列联表中的数据可得学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率，从而得到6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.
解：（Ⅰ）由已知，该校有女生400人，故
，得
从而
.
（Ⅱ）作出列联表如下：
超过1小时的人数 | 不超过1小时的人数 | 合计 | |
男 | 20 | 8 | 28 |
女 | 12 | 8 | 20 |
合计 | 32 | 16 | 48 |
.
所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关.
（Ⅲ）根据以上数据，学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率
，
故估计这6名学生一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4人.
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【题目】已知动圆
经过点
，且和直线
相切.
(Ⅰ)求该动圆圆心
的轨迹
的方程；
(Ⅱ)已知点
，若斜率为1的直线
与线段
相交（不经过坐标原点
和点
），且与曲线
交于
两点，求
面积的最大值.
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【题目】给定一个
项的实数列
， 
， 
， 
，任意选取一个实数
，变换
将数列
， 
， 
， 
变换为数列
， 
， 
， 
，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数
可以不相同，第
次变换记为
，其中
为第
次变换时所选择的实数．如果通过
次变换后，数列中的各项均为
，则称
， 
， 
， 
为“
次归零变换”．
（
）对数列
， 
， 
， 
，给出一个“
次归零变换”，其中
．
（
）对数列
， 
， 
， 
， 
，给出一个“
次归零变换”，其中
．
（
）证明：对任意
项的实数列，都存在“
次归零变换”．
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【题目】高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：
．其中
成等差数列且
．
物理成绩统计如表．（说明：数学满分150分，物理满分100分）
分组 |
|
|
|
|
|
频数 | 6 | 9 | 20 | 10 | 5 |
（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；
（2）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩“优”的概率．
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【题目】已知
为坐标原点，
，
，
，若
.
⑴ 求函数
的最小正周期和单调递增区间；
⑵ 将函数
的图象上各点的横坐标伸长为原来的
倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，求函数在
上的最小值．
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【题目】已知椭圆
的离心率为
,且过点
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）过椭圆
的左焦点的直线
与椭圆
交于
两点,直线
过坐标原点且与直线
的斜率互为相反数.若直线
与椭圆交于
两点且均不与点
重合,设直线
与
轴所成的锐角为
,直线
与
轴所成的锐角为
,判断
与
的大小关系并加以证明.
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【题目】已知点A(0，－2)，椭圆E： 
(a>b>0)的离心率为
，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为
，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
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【题目】2019年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成，两圆心
、
之间的距离为
米．在花坛中建矩形喷泉，四个顶点
，
，
，
均在圆弧上，
于点
．设
.
当 
时,求喷泉
的面积
;
(2)求
为何值时，可使喷泉的面积最大?.
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