Question

已知离心率为

2

2

的椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，椭圆C₁与抛物线C₂：y²=-x的交点的横坐标为
-2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如果直线l：y=kx+m与椭圆相交于P₁、P₂两点，设直线P₁F₁与P₂F₁的倾斜角分别为α，β，当α+β=π时，求证：直线l必过定点．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率的值，得到椭圆中参数的关系，利用椭圆C₁与抛物线C₂：y²=-x的交点的横坐标为-2，代入抛物线的方程，求出交点的坐标，代入椭圆方程求出参数值，即得到椭圆的方程．
（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理，得到交点的坐标满足的条件，将已知条件α+β=π转化为两条直线的斜率满足k₁+k₂=0，将斜率用坐标表示，得到 m=4k，代入直线的方程，判断出直线过定点．

解答：解：（1）由于e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=

1

2

，

b2

a2

=

1

2

，a²=2b²
又因y²=-x的交点的横坐标为-2，y²=2，代入

(-2)2

2b2

+

2

b2

=1，

4

b2

=1，b2=4，
∴a²=8
所以椭圆方程为    

x2

8

+

y2

4

=1
（2）联立

x2

8

+

y2

4

=1与y=kx+m得到（2k²+1）x²+4mkx+2m²-8=0x1+x2=-

4mk

2k2+1

，x1x2=

2m2-8

2k2+1

设直线P₁F₁与P₂F₁的倾斜角分别为α，β，
当α+β=π时，若设k1=kP1F1，k2=kP2F1
k₁=tanα，k₂=tanβ=tan（π-α）=-tanα=-k₁，
∴k₁+k₂=0
k1=

y1

x1+2

=

kx1+m

x1+2

，k2=

y2

x2+2

=

kx2+m

x2+2

k₁+k₂=

kx1+m

x1+2

+

kx2+m

x2+2

=

(kx1+m)(x2+2)+(kx2+m)(x1+2)

(x1+2)(x2+2)

=

2kx1x2+(2k+m)(x1+x2)+4m

(x1+2)(x2+2)

=

2k(2m2-8)+(2k+m)(-4mk)+4m(2k2+1)

(x1+2)(x2+2)(2k2+1)

=

-16k+4m

(x1+2)(x2+2)(2k2+1)

=0
所以   m=4k
直线方程为    y=kx+4k=k（x+4），
故直线过定点 （-4，0）

点评：解决直线与圆锥曲线的相交的有关问题，一般的思路是将直线与圆锥曲线方程联立，得到关于应该未知数的方程，利用韦达定理来解决．属于难题，计算量大．