Question

（本题满分14分）已知函数. 
（1）是否存在实数使函数f(x)为奇函数？证明你的结论；
（2）用单调性定义证明:不论取任何实数，函数f(x)在其定义域上都是增函数;
（3）若函数f(x)为奇函数，解不等式.

Answer 1

（1）当时，函数f(x)为奇函数；（2）证明：见解析。
（3） 

解析试题分析：（1）根据f(x)为奇函数，可确定f(-x)+f(x)=0恒成立.从而可得a值.
（2）利用单调性的定义证明分三个步骤：一取值，二作差变形判断差值符号，三确定单调性.
（3）利用单调性与奇偶性把不等式转化为进一步转化为,
然后利用单调性转化为求解.
（1）    函数f(x)的定义域为 即 …1分
假设存在实数使函数f(x)为奇函数，
由得 解得    …2分，


当时，函数f(x)为奇函数……………4分
（2）证明：任取，且

            …7分
 ， 
又
即  
不论取何值，函数f(x)在其定义域上都是增函数. …………9分
（3）由得 
函数f(x)为奇函数

由（2）已证得函数在Ｒ上是增函数
 
 
不等式的解集为…………14分
考点：函数的奇偶性，单调性的证明，解抽象函数的不等式，一元二次不等式.
点评：判定函数的奇偶性先确定定义域是否关于原点对称；利用单调性证明证明时要注意三个步骤一取值，作差变形，得出结论.变形的目的是判断差值符号.解抽象不等式要注意利用单调性脱掉法则符号f转化为普通不等式求解.