Question

已知函数f（x）=ax²+1，g（x）=x³+bx，其中a＞0，b＞0．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点P（2，c）处有相同的切线（P为切点），求a，b的值；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）的单调递减区间为[-

a

2

，-

b

3

]，求：
（1）函数h（x）在区间（一∞，-1]上的最大值M（a）；
（2）若|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（2，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；
（II）（1）根据函数h（x）的单调递减区间为[-

a

2

，-

b

3

]得出a²=4b，构建函数h（x）=f（x）+g（x）=x³+ax²+

1

4

a²x+1，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（-∞，-1）上的最大值．
（2）由（1）知，函数h（x）在（-∞，-

a

2

）单调递增，在（-

a

2

，-

a

6

）单调递减，在（-

a

6

，+∞）上单调递增
，从而得出其极大值、极小值，再根据|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，建立关于a的不等关系，解得a的取值范围即可．

解答：解：（I）f（x）=ax²+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k₁=4a，g（x）=x³+bx，则f'（x）=3x²+b，k₂=12+b，
由（2，c）为公共切点，可得：4a=12+b  ①
又f（2）=4a+1，g（2）=8+2b，
∴4a+1=8+2b，与①联立可得：a=

17

4

，b=5．
（2）由h（x）=f（x）+g（x）=x³+ax²+bx+1，
则h′（x）=3x²+2ax+b，
因函数h（x）的单调递减区间为[-

a

2

，-

b

3

]，∴当x∈[-

a

2

，-

b

3

]时，3x²+2ax+b≤0恒成立，
此时，x=-

b

3

是方程3x²+2ax+b=0的一个根，得3（-

b

3

）²+2a（-

b

3

）+b=0，得a²=4b，
∴h（x）=x³+ax²+

1

4

a²x+1
令h'（x）=0，解得：x₁=-

a

2

，x₂=-

a

6

；
∵a＞0，∴-

a

2

＜-

a

6

，列表如下：

x	（-∞，- a 2 ）	- a 2	（- a 2 ，- a 6 ）	- a 6	（- a 6 ，+∞
h′（x）	+		-		+
h（x）		极大值		极小值

∴原函数在（-∞，-

a

2

）单调递增，在（-

a

2

，-

a

6

）单调递减，在（-

a

6

，+∞）上单调递增
①若-1≤-

a

2

，即a≤2时，最大值为h（-1）=a-

a2

4

；
②若-

a

2

＜-1＜-

a

6

，即2＜a＜6时，最大值为h（-

a

2

）=1
③若-1≥-

a

6

时，即a≥6时，最大值为h（-

a

2

）=1．
综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为h（-1）=a-

a2

4

；当a∈（2，+∞）时，最大值为h（-

a

2

）=1．
（2）由（1）知，函数h（x）在（-∞，-

a

2

）单调递增，在（-

a

2

，-

a

6

）单调递减，在（-

a

6

，+∞）上单调递增
故h（-

a

2

）为极大值，h（-

a

2

）=1；h（-

a

6

）为极小值，h（-

a

6

）=-

a3

54

+1；
∵|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，又h（0）=1．
∴

h(-2)≥-3 h(- a 6 )≥-3

即

- 1 2 a2+4a-7≥-3 - a3 54 +1≥-3

，解得

4-2 2 ≤a≤4+2 2 a≤6

∴a的取值范围：4-2

2

≤a≤6．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数和应用分类讨论的方法．