Question

已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}是等差数列，且bn=

Sn

n+c

，求非零常数c．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的性质可得

a2+a5=a3+a4=22 a3•a4 =117

，联立方程可得a₃，a₄，代入等差数列的通项公式可求a_n
（2）代入等差数列的前n和公式可求s_n，进一步可得b_n，然后结合等差数列的定义可得2b₂=b₁+b₃，从而可求c

解答：解：（1）a_n为等差数列，a₃•a₄=117，a₂+a₅=22
又a₂+a₅=a₃+a₄=22
∴a₃，a₄是方程x²-22x+117=0的两个根，d＞0
∴a₃=9，a₄=13
∴

a1+2d=9 a1+3d=13

∴d=4，a₁=1
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3
（2）由（1）知，sn=n+

n(n-1)×4

2

=2n2-n
∵bn=

sn

n+c

=

2n2-n

c+n

∴b1=

1

1+c

，b2=

6

2+c

，b3=

15

3+c

，
∵b_n是等差数列，∴2b₂=b₁+b₃，∴2c²+c=0，
∴c=-

1

2

（c=0舍去）

点评：本题主要考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的综合运用，以及构造法的运用，是一道综合性很好的试题．