Question

已知A，B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P、M都异于A、B），且满足

AP

+

BP

=λ(

AM

+

BM

)，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k₁，k₂，k₃，k₄，k₁+k₂=5，则k₃+k₄=

-5

．

Answer 1

分析：设出点P、M的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足

AP

+

BP

=λ(

AM

+

BM

)及其斜率的计算公式即可求出．

解答：解：∵A，B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的公共顶点，∴（不妨设）A（-a，0），B（a，0）．
设P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），∵

AP

+

BP

=λ(

AM

+

BM

)，其中λ∈R，∴（x₁+a，y₁）+（x₁-a，y₁）=λ[（x₂+a，y₂）+（x₂-a，y₂）]，化为x₁y₂=x₂y₁．
∵P、M都异于A、B，∴y₁≠0，y₂≠0．∴

x1

y1

=

x2

y2

．
由k₁+k₂=

y1

x1+a

+

y1

x1-a

=5，化为

2x1y1

x12-a2

=5，（*）
又∵

x12

a2

-

y12

b2

=1，∴

x12-a2

a2

=

y12

b2

，代入（*）化为

x1

y1

=

5a2

2b2

．
k₃+k₄=

y2

x2+a

+

y2

x2-a

=

2x2y2

x22-a2

，又

x22

a2

+

y22

b2

=1，
∴

x22-a2

a2

=-

y22

b2

，
∴k₃+k₄=-

2b2

a2

×

x2

y2

=-

2b2

a2

×

5a2

2b2

=-5．
故答案为-5．

点评：熟练掌握点在曲线上的意义、双曲线和椭圆的方程、向量的运算性质、斜率的计算公式是解题的关键，同时本题需要较强的计算能力．