练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    若F1F2为双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足
    F1O
    =
    PM
    ，
    OP
    •
    OM
    |
    OP
    ||
    OM
    |
    =
    OF1
    •
    OP
    |
    OF1
    ||
    OP
    |

    （1）求此双曲线的离心率；
    （2）若此双曲线过点N（2，
    		3
    ），求双曲线方程；
    （3）设（2）中双曲线的虚轴端点为B1，B2（B1在y轴正半轴上），求B2作直线AB与双曲线交于A B两点，求
    B1A
    ⊥
    B1B
    时，直线AB的方程．
    分析：（1）先由
    F1D
    =
    PM
    知四边形PF1OM为平行四边形，再利用
    OP
    •
    OF1
    |
    OP
    ||
    OF1
    |
    =
    OM
    •
    OP
    |
    OM
    ||
    OP
    |
    得PF1OM为菱形，所以就有
    c+2a
    c
    =e
    求出离心率e即可．
    （2）由（1）求出的离心率e以及双曲线过点N（2，
    		3
    ），可以求出c，a进而求出双曲线方程；
    （3）先设出直线AB的方程，再与双曲线方程联立，求出关于A，B两点坐标的方程，再利用
    B1A
    ⊥
    B1B
    ?x1x2+y1y2-3（y1+y2）+9=0，就可求出对应的直线的斜率，进而求出直线AB的方程．
    解答：解：（1）由
    F1D
    =
    PM
    知四边形PF1OM为平行四边形，
    又由
    OP
    •
    OF1
    |
    OP
    ||
    OF1
    |
    =
    OM
    •
    OP
    |
    OM
    ||
    OP
    |

    知OP平分∠F1OM，∴PF1OM为菱形，
    设半焦距为c，由|
    OF1
    |    =c 知|
    PF1
    |    =c，
    |
    PM
    |=c    ，∴|
    PF2
    |=|
    PF1
    |+2a=c+2a    ，
    又
    |
    PF2
    |
    |
    PM
    |
    =e    ，即
    c+2a
    c
    =e
    e2-e-2=0，∴e=2（e=-1舍去）（4分）
    （2）∵e=2=
    c
    a
    ∴c=2a，∴双曲线方程为
    x2
    a2
    -
    y2
    3a2
    =1    ，
    将点（2，
    		3
    ）代入，有
    4
    a2
    -
    3
    4a2
    =1    ∴a2=3．
    即所求双曲线方程为
    x2
    3
    -
    y2
    9
    =1    ．（8分）
    （3）依题意得B1（0，3），B2（0，-3）
    设直线AB的方程为y=kx-3，A（x1，y1）B（x2，y2）．
    则由
    y=kx-3
    x2
    3
    -
    y2
    9
    =1
    ?(3-k2)x2+6kx-18=0    ．
    ∵双曲线的渐近线为y=±
    		3
    x，∴k=±
    		3
    时，AB与双曲线只有一个交点，
    即k≠±
    		3
    ∵x1+x2=-
    6k
    3-k2
    ，x1•x2=
    -18
    3-k2
    ．
    y1+y2=k（x1+x2）-6=
    -18
    3-k2
    ，y1y2=k2x1x2-k（x1+x2）+9=9
    又
    B1A
    =（x1，y1-3），
    B1B
    =（x2，y2-3），
    B1A
    ⊥
    B1B
    ?x1x2+y1y2-3（y1+y2）+9=0，
    ∴
    -18
    3-k2
    +9-3•
    -18
    3-k2
    +9=0    ，即k2=5∴k=±
    		5
    ．
    故所求直线AB的方程为y=
    		5
    x-3或y=-
    		5
    x-3．（14分）
    点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量共线问题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|=2
    		13
    ，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3：7．
    （Ⅰ）求椭圆和双曲线的方程；
    （Ⅱ）若P为双曲线与椭圆的交点，求cos∠F1PF2．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，
    		2
    )    为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
    （Ⅰ）求双曲线C的方程；
    （Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；
    （Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，F1F2为双曲线C的左，右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一个双曲线有共同的焦点F1，F2，|F1F2|=2
    		13
    ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7，
    （1）求这两曲线方程；
    （2）若P为两曲线的交点（P在第一象限），求
    PF1
    •
    PF2
    的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|=2
    		13
    ，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3：7．
    （Ⅰ）求椭圆和双曲线的方程；
    （Ⅱ）若P为双曲线与椭圆的交点，求cos∠F1PF2．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：2012-2013学年广东省华附、省实、深中、广雅四校高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
    （Ⅰ）求双曲线C的方程；
    （Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；
    （Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，F1F2为双曲线C的左，右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案