Question

已知定点A（1，0）和定直线x=-1上的两个动点E、F，满足

AE

⊥

AF

，动点P满足

EP

∥

OA

，

FO

∥

OP

（其中O为坐标原点）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点B（0，2）的直线l与（1）中轨迹C相交于两个不同的点M、N，若

AM

•

AN

＜0，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）用坐标表示出

AE

、

AF

的坐标，利用

AE

⊥

AF

即得动点P的轨迹方程；
（2）设出直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及

AM

•

AN

＜0，利用数量积公式，即可求得直线l的斜率的取值范围．

解答：解：（1）设P（x，y），E（-1，y₁），F（-1，y₂）（y₁、y₂均不为0）
由

EP

∥

OA

得y₁=y，即E（-1，y）
由FO∥OP得 y2=-

y

x

，即F（-1，-

y

x

）
∵

AE

⊥

AF

，∴

AE

•

AF

=0
∴（-2，y₁）•（2，y₂）=0
∴y₁y₂=-4，∴y²=4x（x≠0）
∴动点P的轨迹C的方程为y²=4x（x≠0）
（2）设直线l的方程y=kx+2（k≠0），M（

y12

4

，y1），N（

y22

4

，y2）
联立得

y=kx+2 y2=4x

消去x得ky²-4y+8=0
∴ y1+y2=

4

k

， y1y2=

8

k

，且△=16-32k＞0即k＜

1

2

．
∴

AM

•

AN

=（

y12

4

-1，y1）•（

y22

4

-1，y2）=（

y12

4

-1）•（

y22

4

-1）+y₁y₂
=

y12y22

16

-

1

4

(y12+y22)+1=

4

k2

-

1

4

(

16

k2

-

16

k

)+

8

k

+1=

k+12

k

     
∵

AM

•

AN

＜0，∴-12＜k＜0，满足k＜

1

2

，
∴-12＜k＜0．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．