Question

如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
（1）若AB=BC=CD=AD=AC=BD=2a，求EF的长；
（2）若AD=BC=2a，EF=

3

a，求异面直线AD与BC所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）如图所示．连接EC，ED．利用△ABC是等边三角形可得CE，同理可得ED，再利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系即可得出．
（2）如图所示，取AC的中点M，连接EM，FM．利用三角形的中位线定理可得EM

∥

.

1

2

BC，FM

∥

.

1

2

AD．
因此∠EMF或其补角即为异面直线AD与BC所成的角，在△EFM中，利用余弦定理即可得出．

解答：解：（1）如图所示．
连接EC，ED．
∵AB=BC=AC=2a，
∴△ABC是等边三角形．
又AE=EB，∴CE⊥AB．
∴CE=

3

a．
同理DE=

3

a．
在△CED中，∵CE=ED=

3

a，CF=FD=a，
∴EF=

CE2-CF2

=

2

a；
（2）如图所示，取AC的中点M，连接EM，FM．
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴EM

∥

.

1

2

BC，FM

∥

.

1

2

AD．
∴∠EMF或其补角即为异面直线AD与BC所成的角，
又AD=BC=2a，
∴EM=FM=a．
在△EFM中，由余弦定理可得：cos∠EMF=

EM2+FM2-EF2

2EM•FM

=

a2×2-( 3 a)2

2×a2

=-

1

2

．
∴异面直线AD与BC所成的角的余弦值为

1

2

．

点评：本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系、三角形的中位线定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中档题．