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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    在平面四边形ABCD中，向量
    a
    =
    AB
    =(4，1)    ，
    b
    =
    BC
    =(3，-1)    ，
    c
    =
    CD
    =(-1，-2)    ．
    （Ⅰ）若向量(
    a
    +2
    b
    )    与向量(
    b
    -k
    c
    )    垂直，求实数k的值；
    （Ⅱ）若
    DB
    =m
    DA
    +n
    DC
    ，求实数m，n．
    分析：（I）根据向量(
    a
    +2
    b
    )    与向量(
    b
    -k
    c
    )    垂直可知两向量的数量积为0，建立方程，解之即可求出k的值；
    （II）根据
    BD
    =
    BC
    +
    CD
    求出
    BD
    的坐标，然后根据
    AD
    =
    AB
    +
    BC
    +
    CD
    求出
    AD
    的坐标，最后根据
    DB
    =m
    DA
    +n
    DC
    ，建立关于m，n的方程组，解之即可．
    解答：解：（Ⅰ）∵向量(
    a
    +2
    b
    )    与向量(
    b
    -k
    c
    )    垂直
    ∴(
    a
    +2
    b
    )•(
    b
    -k
    c
    )=0    …（2分）
    ∴（10，-1）•（3+k，-1+2k）=0
    ∴30+10k+1-2k=0∴k=-
    31
    8
    …（5分）
    （Ⅱ）
    BD
    =
    BC
    +
    CD
    =(2，-3)    ，∴
    DB
    =(-2，3)    …（7分）
    AD
    =
    AB
    +
    BC
    +
    CD
    =(6，-2)∴
    DA
    =(-6，2)，
    DC
    =(1，2)    …（9分）
    ∵
    DB
    =m
    DA
    +n
    DC
    ，
    ∴（-2，3）=m（-6，2）+n（1，2）
    ∴
    -2=-6m+n
    3=2m+2n

    ∴m=
    1
    2
    ，n=1    …（12分）
    点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及向量的坐标运算，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则(
    AB
    +
    DC
    )•(
    AC
    +
    BD
    )    =
     
    ．
    精英家教网

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．
    （Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求二面角D-A1C-A的余弦值．
    （文科）如图甲，精英家教网在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
    （Ⅰ）求证：DC⊥平面ABC；
    （Ⅱ）设CD=a，求三棱锥A-BFE的体积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠ABC=90°，∠BCD=135°，沿对角线AC将此四边形折成直二面角．
    （1）求证：AB⊥平面BCD
    （2）求三棱锥D-ABC的体积
    （3）求点C到平面ABD的距离．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•武汉模拟）如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=θ，而△BCD是正三角形，
    （1）将四边形ABCD面积S表示为θ的函数；
    （2）求S的最大值及此时θ角的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面四边形ABCD中，已知AB=3，DC=2，点E，F分别在边AD，BC上，且
    AD
    =3
    AE
    ，
    BC
    =3
    BF
    ．若向量
    AB
    与
    DC
    的夹角为60°，则
    AB
    •
    EF
    的值为
     
    ．

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