Question

【题目】已知函数.

（1）若，恒有成立，求实数的取值范围；

（2）若函数有两个极值点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）;（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可；

（2）函数有两个极值点，即导函数有两个不同的实数根，对进行分类讨论，令，构造，利用的单调性证明不等式即可.

试题解析：

（1）由，恒有成立，即，对任意成立,

记，，

当，单增；当，单减；最大值为，

所以

（2）函数有两个相异的极值点，即有两个不同的实数根．

①当时， 单调递增， 不可能有两个不同的实根；

②当时，设，，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

∴，∴，

不妨设，∵，

∴，，，

先证，即证，即证，

令，即证，设，

则，函数在单调递减，

∴，∴，又，∴，

∴