Question

已知f（x）=ln（1+x）-

x

1+ax

（a＞0）．
（I） 若f（x）在（0，+∞）内为单调增函数，求a的取值范围；
（II） 若函数f（x）在x=O处取得极小值，求a的取值范围．

Answer 1

分析：先根据导数法则与公式求出f（x）的导数f′（x）．
（I）由函数的单调性与导数的关系易得f′（x）≥0，再结合二次函数的性质可得

1-2a

a2

≤0，即可求出a的取值范围；
（II）由f（x）在x=O处取得极小值，可知在x=O左侧有f′（x）＜0，在x=O右侧有f′（x）＞0，则

1-2a

a2

＜0，即可求出a的取值范围．

解答：解：由f（x）=ln（1+x）-

x

1+ax

（a＞0）
得f′（x）=

1

1+x

-

(1+ax)-ax

(1+ax)2

=

a2x(x- 1-2a a2 )

(1+x)(1+ax)2

（Ⅰ）∵f（x）在（0，+∞）内为单调增函数∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．
又a＞0∴x(x-

1-2a

a2

)≥0在（0，+∞）上恒成立
∴

1-2a

a2

≤0，解得a≥

1

2

．
（Ⅱ）由f′（x）=

a2x(x- 1-2a a2 )

(1+x)(1+ax)2

=0 得x₁=0，x₂=

1-2a

a2

（a＞0）
其中a²、（1+x）、（1+ax）²均大于0
∵f（x）在x=O处取得极小值
∴在x=O左侧有f′（x）＜0，在x=O右侧有f′（x）＞0．
∴

1-2a

a2

＜0，解得a＞

1

2

．

点评：本题主要考查函数的单调性、极值与导数的关系，同时考查求导的公式与法则．