Question

若存在a∈[1，3]，使得不等式ax²+（a-2）x-2＞0成立，则实数x的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：令f（a）=（ x²+x）a-2x-2，由题意得f（1）＞0，或f（3）＞0，由此求出实数x的取值范围．

解答：解：令f（a）=ax²+（a-2）x-2=（ x²+x）a-2x-2，是关于a的一次函数，由题意得
f（1）=（ x²+x）-2x-2＞0，或 f（3）=（ x²+x）•3-2x-2＞0．
即x² -x-2＞0①，或3x²+x-2＞0 ②． 
解①可得 x＜-1，或 x＞2． 解②可得 x＜-1或x＞

2

3

．
把①②的解集取并集可得 x＜-1，或x＞

2

3

．
故答案为{x|x＜-1，或x＞

2

3

}．

点评：本题考查函数的恒成立问题，以及函数在闭区间上的值域的求法，一元二次不等式的解法，得到（ x²+x）
-2x-2＞0，或（ x²+x）•3-2x-2＞0，是解题的关键，属于中档题．