Question

已知函数f（x）=-x²+ax+1-lnx．
（I）若函数f（x）在区间上是减函数，求实数a的取值范围．
（II）试讨论函数f（x）是否既有极大值又有极小值？若有，求出a的取值范围；若没有，请说明理由．

Answer 1

解：（I）由f（x）=-x²+ax+1-lnx得，
∵f（x）在区间上是减函数，∴当时，＜0恒成立，
即a＜2x+恒成立，令g（x）=2x+，则g^′（x）=2-
∵＞4，∴g^′（x）=2-＜0
∴g（x）=2x+在区间上是减函数，
∴，∴．

（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f（x）得到：f^′（x）==0，得-2x²+ax-1=0，△=a²-8
①当-2-8＜0，-2x²+ax-1＜0恒成立，所以f^′（x）＜0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）不存在极值；
②当a=±2+ax-1≤0，∴f^′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）不存在极值；
③当a＜-2（x）=0得：x₁=∵x₁＜0∉（0，+∞）∴f（x）在（0，+∞）不可能存在两个极值点；
④当a＞2（x）=0得：x₁= 此时，x₂＞x₁＞0，f^′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

由表可以知道，f（x₁）是f（x）的极小值，f（x₂）是f（x）的极大值；综上：当a≤-2时，f（x）不可能即有极大值又有极小值；
当a＞2时，f（x）即有极大值f（x₂），又有极小值f（x₁）．
分析：（I）由题意函数上是减函数，等价于函数在此区间上恒成立，对于恒成立往往是把字母变量放在一边，另一边转化为求函数在定义域下的最值，即可
（II）由函数求导函数为：，接着针对字母a的取值范围求该函数在定义域下的极值即可．
点评：此题考查了求导函数，此题考查了恒成立问题，还考查了求函数的极值及解题时等价转化的思想．