Question

以下命题：
①对于任意向量

a

、

b

，都有|

a

•

b

|≥

a

•

b

成立；
②若首项a₁＜0，S₉=S₁₄，则前n项和S_n取得最小值时n值为11；
③已知a，b，b+a成等差数列，a，b，ab成等比数列，且

1

2

＜log_m（a+b）＜1，则实数m的取值范围是（6，36）；
④在锐角三角形ABC中，若A=2B，则

b

a

的取值范围是（

2

，

3

），
其中正确命题是

①③

（填正确命题的番号）

Answer 1

分析：利用所学的知识逐个判定命题是否正确，从而选出正确的命题．

解答：解：①当

a

、

b

夹角小于等于90°时，

a

•

b

≥0，此时|

a

•

b

|=

a

•

b

，
当

a

、

b

夹角大于90°时，

a

•

b

＜0，此时|

a

•

b

|=-

a

•

b

＞

a

•

b

，故①正确；
②∵S₉=S₁₄，∴s₁₄-s₉=a₁₀+a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄=0，
又a₁＜0，{a_n}不是等差数列，不能得出S_n取得最小值时n=11，②不正确；
③∵a，b，b+a成等差数列，且a，b，ab成等比数列，∴

2b=a+(a+b) b2=a2b

，解得a=2，b=4，∴a+b=6；
∴由

1

2

＜log_m（a+b）＜1，知

1

2

＜log_m6＜1，∴m∈（6，36），③正确；
④锐角△ABC中，若A=2B，则

π

6

＜B＜

π

4

（因为B小于

π

6

时，C将为钝角；B大于

π

4

时，A将为钝角）；
∴

2

2

＜cosB＜

3

2

，∴

3

3

＜

1

2cosB

＜

2

2

；
由sinA=sin2B，得sinA=2sinBcosB，∴

b

a

=

sinB

sinA

=

1

2cosB

，即

b

a

的取值范围是（

3

3

，

2

2

），∴④不正确；
故答案为：①③

点评：本题通过判断命题的真假考查了平面向量的数量积、数列的综合应用以及解三角形的知识，是易错题．