Question

已知f（x）=kx³-x²+x-5在R上单调递增，记△ABC的三内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若a²+c²≥b²+ac时，不等式f[m+sin2B+cos(A+C)]＜f(2

m

+

33

4

)恒成立．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求角cosB的取值范围；
（3）求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，利用函数的单调性判断出f′（x）＞0恒成立进而判断出导函数的开口向上判断出k＞0，判别式小于0求得k的范围．
（2）利用余弦定理和题设的不等式求得cosB的范围，进而求得B的范围．
（3）利用函数的单调性和题设的不等式建立不等式求得m的范围．

解答：解：（1）由f（x）=kx³-x²+x-5知f′（x）=3kx²-2x+1，
∵f（x）在R上单调递增，∴f′（x）＞0恒成立，
∴3k＞0且△＜0，即k＞0且4-12k＜0，∴k＞

1

3

，
当△=0，即k=

1

3

时，f′（x）=3kx²-2x+1=（x-1）²，
∴x＜1时f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＞0，
即当k=

1

3

时，能使f（x）在R上单调递增，∴k≥

1

3

．
（2）∵a²+c²≥b²+ac，由余弦定理：cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

ac

2ac

=

1

2

，∴0＜B≤

π

3

，
（3）∵f（x）在R上单调递增，且f[m+sin2B+cos(A+C)]＜f(2

m

+

33

4

)，
所以m+sin2B+cos(A+C)＜2

m

+

33

4

-sin2B-cos(A+C)+

33

4

=-sin2B+cosB+

33

4

=cos2B+cosB+

29

4

=(cosB+

1

2

)2+7≥8，
故m-2

m

＜8，即(

m

-1)2＜9，-3＜

m

-1＜3，即0≤

m

＜4，即0≤m＜16．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，利用导函数研究函数的单调性以及函数．考查了基础知识的综合理解和应用．