Question

已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N*）
（1）求出所有使数列{a_n+1+λa_n}成等比数列的λ值，并说明理由．
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）数列{a_n+1+λa_n}成等比数列，求出前3项，利用等差数列的性质，直接求出λ的值．
（2）利用（1）的结论，得到方程组，然后求数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）因为数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N*），
{a_n+1+λa_n}的前三项分别为5+5λ，35+5λ，65+35λ
依题意得（7+λ）²=（1+λ）（13+7λ），
解得λ=-3或2．
当n≥2时，{a_n+2a_n-1}是首项为15公比为3的等比数列，
{a_n-3a_n-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列．
（2）由（1）{a_n+1+λa_n}是等比数列，
{a_n+2a_n-1}是首项为15公比为3的等比数列，
得a_n+1+2a_n=15×3^n-1，…①
{a_n-3a_n-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列．
a_n+1-3a_n=-10×（-2）^n-1…②
以上①-②得a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ．

点评：本题是中档题，考查等差数列的基本性质，考查计算能力，利用数列的前3项是等比数列建立方程是解题的关键．本题第二小题借用（1）结论用解方程组的方法求出数列通项，设计巧妙，值得借鉴