Question

直线l过抛物线

y

2

=2px(p＞0)的焦点F，且交抛物线于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S，如果|PF|=a，|QF|=b，M为RS的中点，则|MF|=

ab

．

Answer 1

分析：由题意，取PQ的中点N，利用|MN|=

1

2

(|PR|+|QS|)，根据抛物线定义，可得|MN|=

1

2

|PQ|，所以PM⊥QM，利用△PRM≌△PFM，可得 MF⊥PQ，在Rt△PMQ中，MF⊥PQ，利用射影定理可得结论．

解答：解：由题意，取PQ的中点N，
∵M为RS的中点，∴MN是梯形的中位线
∴|MN|=

1

2

(|PR|+|QS|)
根据抛物线定义，可得|PR|=|PF|=a，|QS|=|QF|=b，
∴|MN|=

1

2

|PQ|，∴PM⊥QM．
∵PR=PF，∠RPM=∠FPM，PM=PM，∴△PRM≌△PFM，∴∠PFM=∠PRM=90°，∴MF⊥PQ．
在Rt△PMQ中，MF⊥PQ，∴|MF|²=|PF|×|QF|，∴|MF|=

ab

故答案为：

ab

点评：本题考查抛物线的定义，考查抛物线过焦点的性质，考查射影定理的运用，解题的关键是证明抛物线过焦点的性质，属于中档题．