Question

在数列|a_n|中，a₁=t-1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：a_n+1（a_n+tⁿ-1）=a_n（tⁿ⁺¹-1），（n∈N⁺）
（1）猜想出数列|a_n|的通项公式并用数学归纳法证明之；
（2）求证：a_n+1＞a_n，（n∈N⁺）．

Answer 1

分析：（1）由原递推式得到an+1=

(tn+1-1)an

an+tn-1

，再写出前几项，从而猜想数列|a_n|的通项公式，进而利用数学归纳法证明．
（2）利用（1）的结论，作差进行比较，故可得证．

解答：解：（1）由原递推式得到an+1=

(tn+1-1)an

an+tn-1

，a2=

(t2-1)a1

a1+t-1

=

1

2

(t2-1)，a3=

(t3-1)a2

a2+t2-1

=

t3-1

3

猜想得到an=

tn-1

n

…（3分）
下面用数学归纳法证明an=

tn-1

n

1⁰当n=1时   a₁=t-1   满足条件
2⁰假设当n=k时，ak=

tk-1

k

则ak+1(

tk-1

k

+tk-1)=

tk-1

k

(tk+1-1)，∴ak+1•

k-1

k

=

tk+1-1

k

，∴ak+1=

tk+1-1

k+1

即当n=k+1时，原命题也成立．
由1⁰、2⁰知an=

tn-1

n

…（7分）
（2）an+1-an=

tn+1-1

n+1

-

tn-1

n

=

1

n(n+1)

[n(tn+1-1)-(n+1)(tn-1)]=

1

n(n+1)

[ntn(t-1)-(tn-1)]=

t-1

n(n+1)

[ntn-(tn-1+tn-2+…+t+1)]
而ntⁿ-（t^n-1+t^n-2+…+t+1）=（tⁿ-t^n-1）+（tⁿ-t^n-2）+…+（tⁿ-t）+（tⁿ-1）=t^n-1（t-1）+t^n-2（t²-1）+t^n-3（t³-1）+…+t（t^n-1-1）+（tⁿ-1）=

＞0，t＞1 ＜0，0＜t＜1

故t＞0，且t≠1时有a_n+1-a_n＞0，即a_n+1＞a_n…（13分）

点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．