Question

（2009•孝感模拟）定义数列{akn}中的前n项的积为数列{akn}的n项阶乘，记为(akn)!!=ak1•ak2•ak3…•akn，例如：（a_3n+1）!!=a₄•a₇•a₁₀•…•a_3n+1，已知f（x）=x-sinx在[0，n]上的最大值为b_n；设a_n=b_n+sin n．
（1）求a_n
（2）求证：

(a2n-1)!!

(a2n)!!

＜

1

2an+1

（3）是否存在m∈N^*使

m

n=1

(a2n-1)!!

(a2n)!!

＜

2am+1

-1成立？若存在，求出所有的m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=1-cosx≥0，知f（x）在[0，n]上单调递增．所以f（n）_max=f（n）=b_n=n-sinn由此能求出a_n．
（2）由

(a2n-1)!!

(a2n)!!

=

(2n-1)!!

(2n)!!

=

1•3•5•…•(2n-3)•(2n-1)

2•4•6•…•(2n-2)•2n

和

2k-1

2k

＜

2k-1

4k2-1

=

2k-1

2k-1 2k+1

=

2k-1

2k+1

能够证明

(a2n-1)!!

(a2n)!!

＜

1

2an+1

．
（3）由

m

n=1

(a2n-1)!!

(a2n)!!

＜

m

n=1

1

2n+1

=

1

3

+

1

5

+

1

7

…+

1

2m-1

+

1

2m+1

=

2m+1

-1=

2am+1

-1，知对于任意的m∈N^*均有

m

n=1

(a2n-1)!!

(a2n)!!

＜

2am+1

-1．

解答：解：（1）∵f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）在[0，n]上单调递增．
∴f（n）_max=f（n）=b_n=n-sinn，
∴a_n=b_n+sinn=n，
（2）∵

(a2n-1)!!

(a2n)!!

=

(2n-1)!!

(2n)!!

=

1•3•5•…•(2n-3)•(2n-1)

2•4•6•…•(2n-2)•2n

又

2k-1

2k

＜

2k-1

4k2-1

=

2k-1

2k-1 2k+1

=

2k-1

2k+1

，
∴

(a2n-1)!!

(a2n)!!

＜

1

3

•

3

5

•

5

7

•…•

2n-3

2n-1

•

2n-1

2n+1

=

1

2n+1

，
（数学归纳法按（1分）+（3分）+（1分）评分）
（3）由（2）知：

m

n=1

(a2n-1)!!

(a2n)!!

＜

m

n=1

1

2n+1

=

1

3

+

1

5

+

1

7

…+

1

2m-1

+

1

2m+1

=

2

2 3

+

2

2 5

+…+

2

2 2m+1

＜

2

3 +1

+

2

5 + 3

+…+

2

2m+1 + 2m-1

=(

3

-1)+(

5

-

3

)+…+(

2m+1

-

2m-1

)
=

2m+1

-1=

2am+1

-1，
∴对于任意的m∈N^*均有

m

n=1

(a2n-1)!!

(a2n)!!

＜

2am+1

-1．

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．