Question

【题目】已知椭圆：的右焦点为点的坐标为，为坐标原点，是等腰直角三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）经过点作直线交椭圆于两点，求面积的最大值；

（3）是否存在直线交椭圆于两点，使点为的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由是等腰直角三角形，可得，从而可得椭圆方程；
（2）设过点的直线的方程为，的横坐标分别为，求出的最大值，即可求得面积的最大值；
（3）假设存在直线交椭圆于两点，且使点为的垂心，设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理结合，即可求得结论．

解：（1）由是等腰直角三角形，可得，

故椭圆方程为；
（2）设过点的直线的方程为，的横坐标分别为，
将线的方程为代入椭圆方程，

消元可得，

∴，

，
，
令，则
令，则（当且仅当时取等号）
又面积，

∴△AOB面积的最大值为；
（3）假设存在直线交椭圆于两点，且使点为的垂心，
设，
因为，所以．
于是设直线的方程为，代入椭圆方程，

消元可得．
由，得，且,

由题意应有，所以，
所以．
整理得．
解得或．
经检验，当时，不存在，故舍去．
∴当时，所求直线存在，且直线l的方程