Question

已知交流电的电流强度I（安培）与时间t（秒）满足函数关系式I=f（t）=Asin（ωt+φ），其中A＞0，ω＞0，0≤?＜2π，如图所示的是一个周期内的函数图象．
（1）求I=f（t）的解析式；
（2）求y=f（-t）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由函数的最大、最小值，求出振幅A=300．根据函数的周期为T=

1

75

，利用周期公式解出ω=150π．最后根据当x=

1

450

时函数有最大值300，代入解析式建立关于φ的等式解出φ=-

π

6

，即可得到函数I=f（t）的解析式．
（2）由（1）的解析式，可得f（-t）=300sin（-150πt+

π

6

）=-300sin（150πt-

π

6

），再利用正弦函数单调区间的公式，解关于t的不等式，即可得到所求y=f（-t）的单调区间．

解答：解：（1）∵函数的最大最小值分别为300、-300，且A＞0，∴A=300．
又∵函数的周期T=

11

900

-（-

1

900

）=

1

75

，且ω＞0，
∴

2π

ω

=

1

75

，解之得ω=150π．
可得函数的解析式为I=300sin（150πt+φ），
又∵当t=-

1

900

+

1

4

×

1

75

=

1

450

时，函数有最大值为300，
∴2sin（150π•

1

450

+φ）=300，得sin（

π

3

+φ）=1，可得

π

3

+φ=

π

2

+2kπ（k∈Z）
∵0≤?＜2π，∴取k=0得φ=

π

2

-

π

3

=

π

6

．
∴函数的解析式为I=f（t）=300sin（150πt+

π

6

）；
（2）∵I=f（t）=300sin（150πt+

π

6

），
∴f（-t）=300sin（-150πt+

π

6

）=-300sin（150πt-

π

6

），
令-

π

2

+2kπ≤150πt-

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
解得-

1

450

+

k

75

≤t≤

1

225

+

k

75

（k∈Z），
∴y=f（-t）的单调递增区间为[-

1

450

+

k

75

，

1

225

+

k

75

]（k∈Z），
同理可得y=f（-t）的单调递减区间为[

1

225

+

k

75

，

1

90

+

k

75

，]（k∈Z）．

点评：本题以交流电的电流强度I（安培）与时间t（秒）满足的函数关系式为载体，考查了三角函数的图象与性质及其应用的知识，属于中档题．