Question

已知点M（1，y）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y=-

1

2

x+b与抛物线交于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；
（Ⅲ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）抛物线y²=2px（p＞0）的准线为x=-

p

2

，由抛物线定义和已知条件可知|MF|=1-(-

p

2

)=1+

p

2

=2，由此能求出抛物线方程．
（Ⅱ）联立

y=- 1 2 x+b y2=4x

，消x并化简整理得y²+8y-8b=0．依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞-2．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-8，y₁y₂=-8b，设圆心Q（x₀，y₀），则应有x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

=-4．因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y₀|=4，由此能够推导出圆的方程．
（Ⅲ）因为直线l与y轴负半轴相交，所以b＜0，又l与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知b＞-2，所以-2＜b＜0，直线l：y=-

1

2

x+b整理得x+2y-2b=0，点O到直线l的距离d=

|-2b|

5

=

-2b

5

，所以S△AOB=

1

2

|AB|d=-4b

2

2+b

=4

2

b3+2b2

．由此能够求出AOB的面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）抛物线y²=2px（p＞0）的准线为x=-

p

2

，
由抛物线定义和已知条件可知|MF|=1-(-

p

2

)=1+

p

2

=2，
解得p=2，故所求抛物线方程为y²=4x．
（Ⅱ）联立

y=- 1 2 x+b y2=4x

，消x并化简整理得y²+8y-8b=0．
依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞-2．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-8，y₁y₂=-8b，
设圆心Q（x₀，y₀），则应有x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

=-4．
因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y₀|=4，
又|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+4)(y1-y2)2

=

5[(y1+y2)2-4y1y2]

=

5(64+32b)

．
所以|AB|=2r=

5(64+32b)

=8，
解得b=-

8

5

．
所以x1+x2=2b-2y1+2b-2y2=4b+16=

48

5

，所以圆心为(

24

5

，-4)．
故所求圆的方程为(x-

24

5

)2+(y+4)2=16．
（Ⅲ）因为直线l与y轴负半轴相交，所以b＜0，
又l与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知b＞-2，所以-2＜b＜0，
直线l：y=-

1

2

x+b整理得x+2y-2b=0，
点O到直线l的距离d=

|-2b|

5

=

-2b

5

，
所以S△AOB=

1

2

|AB|d=-4b

2

2+b

=4

2

b3+2b2

．
令g（b）=b³+2b²，-2＜b＜0，g′(b)=3b2+4b=3b(b+

4

3

)，

b	(-2，- 4 3 )	- 4 3	(- 4 3 ，0)
g'（b）	+	0	-
g（b）		极大

由上表可得g（b）最大值为g(-

4

3

)=

32

27

．
所以当b=-

4

3

时，△AOB的面积取得最大值

32 3

9

．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，注意导数的合理运用．