Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E．
（1）连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长．

Answer 1

分析：（1）根据全等三角形的对应边相等知AP=AD=3；然后在Rt△ABP中利用勾股定理可以求得BP的长度；
（2）根据相似三角形Rt△ABP∽Rt△PCE的对应边成比例列出关于x、y的方程，通过二次函数的最值的求法来求y的最大值；
（3）如图，连接BD．利用（2）中的函数关系式设BP=x，则CE=-

1

2

x²+

3

2

x，然后根据相似三角形△CPE∽△CBD的对应边成比例列出关于x的一元二次方程，通过解该方程即可求得此时BP的长度．

解答：解：（1）∵△APE≌△ADE（已知），AD=3（已知），
∴AP=AD=3（全等三角形的对应边相等）；
在Rt△ABP中，BP=

AP2-AB2

=

32-22

=

5

（勾股定理）；
（2）∵AP⊥PE（已知），
∴∠APB+∠CPE=∠CPE+∠PEC=90°，
∴∠APB=∠PEC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE，
∴

AB

PC

=

BP

CE

即

2

3-x

=

x

y

（相似三角形的对应边成比例），
∴y=-

1

2

x²+

3

2

x=-

1

2

（x-

3

2

）²+

9

8

，
∴当x=

3

2

时，y有最大值，最大值是

9

8

；
（3）如图，连接BD．设BP=x，CE=-

1

2

x²+

3

2

x，
∵PE∥BD，
∴△CPE∽△CBD，
∴

CP

CB

=

CE

CD

（相似三角形的对应边成比例），
即

3-x

3

=

- 1 2 x2+ 3 2 x

2

化简得，3x²-13x+12=0
解得，x₁=

4

3

，x₂=3（不合题意，舍去），
∴当BP=

4

3

时，PE∥BD．

点评：本题综合考查了矩形的性质、勾股定理、二次函数的最值等知识点．本题中求二次函数的最值时，采用了配方法．属于中档题．