Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,|φ|＜)的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀,2)和(x₀+3π,-2)

(1)求函数f(x)的解析式.

(2)求函数f(x)的单调递减区间.

(3)问函数f(x)可由y=sinx,x∈R的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Answer 1

解：（1）由题意得x=0时y=1,∴Asinφ=1,①?又∵第一个最大值点与第一个最小值点相差了，∴=（x₀+3π）-x₀=3π,∴T=6π,∴=6π,∴w=.又f_max(x)=2.∴A=2代入①得∴sinφ=,故φ=+2kπ(k∈Z).又∵|φ|＜,∴φ=,即f(x)=2sin(x+).(2)由+2kπ≤x+≤π+2kπ(k∈Z)得π+6kπ≤x≤6kπ+4π,(k∈Z),即f(x)单调减区间为［π+6kπ,4π+6kπ］,(k∈Z).(3)f(x)=2sin(x+).故y=sinx的图象沿x轴向左平移单位，再把各点横坐标扩大到原来3倍，再把各点纵坐标伸长到原来的2倍，即得到f(x)图象.