Question

设f（x）=x²，g（x）=8x，数列{a_n}（n∈N*）满足a₁=2，（a_n+1-a_n）•g（a_n-1）+f（a_n-1）=0，记．（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）当n为何值时，b_n取最大值，并求此最大值；（Ⅲ）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，得（a_n+1-a_n）•8（a_n-1）+（a_n-1）²=0．
即（a_n-1）（8a_n+1-7a_n-1）=0．
∵a₁=2≠1，∴a₂≠1，同理a₃≠1，…，a_n≠1．
∴8a_n+1=7a_n+1．
即8（a_n+1-1）=7（a_n-1），
∴数列{a_n-1}是以a₁-1=1为首项，为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（1），得．
∴．
则．
∵，设≥1，则n≤6．
因此，当n＜6时，b_n＜b_n+1；当n=6时，b₆=b₇，当n＞6时，b_n＞b_n+1．
∴当n=6或7时，b_n取得最大值．
（Ⅲ）
相减得：=
=
∴．
分析：（I）求出g（a_n-1），f（a_n-1）将它们代入已知等式得到关于a_n的等式，判断出各项都不是1，将其变形得到
8（a_n+1-1）=7（a_n-1），利用等差数列的定义得到证明．
（II）作出数列{b_n}终相邻两项的商，通过讨论n判断出商与1的大小，即得到数列的单调性，进一步得到b_n取最大值时n的值．
（III）由于数列{b_n}的通项特点是一个等差数列与一个等比数列的积，利用错位相减的方法求出数列的前n项和．
点评：求数列的前n项和问题，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．常用的求和方法有：公式法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、分组法．