Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若对任意，≥0恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求出导函数，分别讨论≤0，＞0时，的正负，即可求解。

（Ⅱ）当＜0，为单调递增函数，且＜0，不满足题意

当＝0，＞0恒成立，满足题意。

当＞0时，＝≥0恒成立，等价于≥，令，结合单调性，即可求解。

（Ⅰ）解：函数的定义域为R，．

（1）当≤0时，因为＞0，所以＞0，函数在（，）上单调递增；

（2）当＞0时，由＞0，得＞，由＜0，得＜，

所以，函数在（，）上单调递减，在（，）上单调递增．

（Ⅱ）解：（1）由（Ⅰ）知，当＜0时，在（，）上单调递增，

因为＞0，＜0，所以存在（，0），使＝0．

所以，当（，）时，＜0，不合题意．

说明：当＜0时，＜1，则＜0，≥0不恒成立．

（2）当＝0时，＞0恒成立；

（3）当＞0时，＝≥0恒成立，等价于对任意，≥恒成立，

令，则，

当（，1）时，＞0，为增函数；当（1，）时，＜0，为

减函数，所以，于是≥，所以　0＜≤．

综上，实数的取值范围为［0，］．