Question

在三棱锥P—ABC中,给出下列四个命题:

①如果PA⊥BC,PB⊥AC,那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的垂心;

②如果点P到△ABC的三边所在直线的距离都相等,那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的内心;

③如果棱PA和BC所成角为60°,PA=BC=2,E、F分别是棱PB、AC的中点,那么EF=1;

④如果三棱锥P—ABC的各条棱长均为1,则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于.

其中正确命题的序号是__________.

Answer 1

①④  作PO⊥面ABC，连结AO，BO，CO，

∵PA⊥BC，PB⊥AC，∴AO⊥BC，

BO⊥AC，∴O为△ABC的垂心,

故①正确.

②中若△ABC为钝角三角形,点P在平面ABC的射影是△ABC的旁心,

∴②错.

③中取AB中点M,连ME,MF,EF,则MEAP,MFBC,∴ME=MF=1,

∠EMF=60°或120°,故EF=1或3,

∴③错.

对于④,把棱长为1的三棱锥放入一个棱长为的正方体中,如图所示,显然它在平面内的射影最大的是底面正方形,其面积为,故④正确.∴只有①④符合要求.