Question

双曲线M的中心在原点，并以椭圆的焦点为焦点，以抛物线 的准线为右准线.

（Ⅰ）求双曲线M的方程；

（Ⅱ）设直线： 与双曲线M相交于A、B两点，O是原点.

① 当为何值时，使得?

② 是否存在这样的实数,使A、B两点关于直线对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）易知，椭圆的半焦距为：，

又抛物线的准线为：.

设双曲线M的方程为，依题意有，

故，又.

∴双曲线M的方程为.

（Ⅱ）设直线与双曲线M的交点为、两点

联立方程组 消去y得  ，

∵、两点的横坐标是上述方程的两个不同实根，

∴

∴，从而有

，.

又，

∴

.

① 若，则有 ，

即 .

∴当时，使得.  

② 若存在实数,使A、B两点关于直线对称，则必有 ，

因此，当m=0时，不存在满足条件的k；

当时，由 得

  

∵A、B中点在直线上，

∴ 代入上式得

；又， ∴

将代入并注意到，得 .

∴当时，存在实数，使A、B两点关于直线对称.