Question

如图，矩形，满足在上，在上，且∥∥，，，，沿、将矩形折起成为一个直三棱柱，使与、与重合后分别记为，在直三棱柱中，点分别为和的中点．

(I)证明：∥平面；
(Ⅱ)若二面角为直二面角，求的值．

Answer 1

详见解析；.

解析试题分析：连结DB₁ 、DC₁，由是的中位线来证明线面平行.由条件可知∠BDC = 90°.再建系求出各点坐标，求面的法向量，面的法向量，由二面角为直二面角得，从而解得.
试题解析：（Ⅰ）证：连结DB₁ 、DC₁ ∵四边形DBB₁D₁为矩形，M为D₁B的中点   2分
∴M是DB₁与D₁B的交点，且M为DB₁的中点
∴MN∥DC₁，∴MN∥平面DD₁C₁C                              4分
（Ⅱ）解：四边形为矩形，B.C在A₁A₂上，B₁.C₁在上，
且BB₁∥CC₁∥，A₁B = CA₂ = 2，，
∴∠BDC = 90°                                            6分

以DB、DC、DD₁所在直线分别为x.y.z轴建立直角坐标系，则
D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D₁(0，0，)，B₁(2，0，)，C₁(0，2，)
点M、N分别为D₁B和B₁C₁的中点，∴
设平面D₁MN的法向量为m = (x，y，z)，则
，
令x = 1得：
即                                             8分
设平面MNC的法向量为n = (x，y，z)，则
，令z = 1得：
即                                         10分
∵二面角D₁－MN－C为直二面角   ∴m⊥n，故，解得：
∴二面角D₁－MN－C为直二面角时，．         12分
考点：1.点、线、面的位置关系；2.空间向量的应用；3.二面角.