Question

设虚数z=（x-2）+yi，（x，y∈R），又|

.

z

|=1，那么

y

x

的取值范围是（　　）

• A、[-

  3

  3

  ，

  3

  3

  ]
• B、[-

  3

  3

  ，0)∪(0，

  3

  3

  ]
• C、[-

  3

  ，

  3

  ]
• D、[-

  3

  ，0)∪(0，

  3

  ]

Answer 1

分析：根据z=（x-2）+yi，（x，y∈R），|

.

z

|=1，可知方程表示以（2，0）为圆心，1为半径的圆，利用参数法，构建函数，进而利用导数求出

y

x

的取值范围．

解答：解：由题意，∵z=（x-2）+yi，（x，y∈R），|

.

z

|=1
∴（x-2）²+y²=1
设x=2+cosα，y=sinα，α∈[0，2π]
∴

y

x

=

sinα

2+cosα

设g(α)=

sinα

2+cosα

，∴g′(α)=

cosα(2+cosα)-sinα×(-sinα)

(2+cosα)2

=

2cosα+1

(2+cosα)2

令g′（α）=0，∴2cosα+1=0
∵α∈[0，2π]，∴α=

2π

3

或α=

4π

3

∵α∈[0，

2

3

π]上，g′（α）＞0，[

2

3

π，

4

3

π]上，g′（α）＜0，[

4

3

π，2π]上，g′（α）＞0
∴α∈[0，

2

3

π]上单调增，[

2

3

π，

4

3

π]上单调减，[

4

3

π，2π]上单调增
∴α=

2π

3

时，函数取得最大值为：

3

3

；α=

4π

3

时，函数取得最小值为-

3

3

故选A．

点评：本题以虚数的模为载体，考查圆的方程的运用，考查利用导数求最值，有一定的综合性．