Question

已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x²-7x+y²+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；
（1）求曲线E的方程；
（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点  （

1

|MQ|

，

1

|NQ|

）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），由题意可得，|x-2|=

(x- 7 2 )2+y2- 33 4

整理可得切线E的方程
（2）过点Q任作的直线方程可设为：

x=m+tcosα y=n+tsinα

(α为直线的倾斜角），代入曲线E的方程y²=3x，得（n+tsinα）²=3（m+tcosα），sin²αt²+（2nsinα-3cosα）t+n²-3m=0，由韦达定理得t1+t2=

3cosα-2nsinα

sin2α

，t1t2=

n2-3m

sin2α

，若使得点  （

1

|MQ|

，

1

|NQ|

）在以原点为圆心，定值r为半径的圆上，则有

1

|MQ|2

+

1

|NQ|2

=

1

t12

+

1

t22

=

t12+t22

(t1t2)2

=

(t1+t2)2-2t1t2

(t1t2)2

=

9-12nsinαcosα+(2n2+6m-9)sin2α

(n2-3m)2

为定值

解答：解：（1）设P（x，y），圆方程x²-7x+y²+4=0化为标准式：(x-

7

2

)2+y2=

33

4

则有|x-2|=

(x- 7 2 )2+y2- 33 4

∴（x-2）²=x²-7x+y²+4，整理可得y²=3x
∴曲线E的方程为y²=3x．
（2）过点Q任作的直线方程可设为：

x=m+tcosα y=n+tsinα

(α为直线的倾斜角）
代入曲线E的方程y²=3x，得（n+tsinα）²=3（m+tcosα），sin²αt²+（2nsinα-3cosα）t+n²-3m=0
由韦达定理得t1+t2=

3cosα-2nsinα

sin2α

，t1t2=

n2-3m

sin2α

，

1

|MQ|2

+

1

|NQ|2

=

1

t12

+

1

t22

=

t12+t22

(t1t2)2

=

(t1+t2)2-2t1t2

(t1t2)2

=

( 3cosα-2nsinα sin2α )2-2( n2-3m sin2α )

( n2-3m sin2α )2

=

(3cosα-2nsinα)2-2(n2-3m)sin2α

(n2-3m)2

=

9cos2α-12nsinαcosα+2n2sin2α+6msin2α

(n2-3m)2

═

9-12nsinαcosα+(2n2+6m-9)sin2α

(n2-3m)2

令-12n与2n²+6m-9同时为0
得n=0，m=

3

2

，此时

1

|MQ|2

+

1

|NQ|2

=

4

9

为定值r=

2

3

故存在．

点评：本题主要考查了点到直线的距离公式得应用，直线的参数方程的应用，直线与曲线相交的位置关系及方程思想的应用，解题要求具备一定得推理与运算得能力