Question

已知点A（1，1）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点，F₁，F₂是椭圆的两焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（1）求椭圆的两焦点坐标；
（2）设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两点关于原点O不对称；
（3）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．

Answer 1

分析：（I）先由椭圆定义知：2a=4，再把（1，1）代入得即可求得椭圆方程，从而求得两焦点坐标；
（II）用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为（-1，-1），再取椭圆上一点M（-2，0），从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立．
（III）设AC方程为：y=k（x-1）+1，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合点A（1，1）在椭圆上C，D两点的坐标，从而求得直线CD的斜率为定值．

解答：解：（I）由椭圆定义知：2a=4，∴a=2，∴

x2

4

+

y2

b2

=1
把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1∴b2=

4

3

，则椭圆方程为

x2

4

+

y2

4 3

=1，
∴c2=a2-b2=4-

4

3

=

8

3

，∴c=

2 6

3

故两焦点坐标为(

2 6

3

，0)，(-

2 6

3

，0)（4分）

（II）用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为（-1，-1），
此时|AB|=2

2

取椭圆上一点M（-2，0），则|AM|=

10

.∴|AM|＞|AB|．
从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立．（8分）

（III）设AC方程为：y=k（x-1）+1
联立

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3 4 y2=1

消去y得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0
∵点A（1，1）在椭圆上∴xC=

3k2-6k-1

3k2+1

（10分）
∵直线AC、AD倾斜角互补
∴AD的方程为y=-k（x-1）+1
同理xD=

3k2+6k-1

3k2+1

（11分）
又y_c=k（x_C-1）+1，y_D=-k（x_D-1）+1，y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2k
所以kCD=

yC-yD

xC-xD

=

1

3

即直线CD的斜率为定值

1

3

（13分）

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的简单性质、椭圆方程等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于中档题．