Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=

1

2

an+2，a₁=2．
（1）求证：数列{a_n-4}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）是否存在正整数m，n，使

an+1＞2an-m an+1＞m

成立？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）对a_n+1=

1

2

an+2构造，变形得出a_n+1-4=

1

2

（a_n-4），得出数列{a_n-4}是等比数列；
（2）通过等比数列{a_n-4}的通项公式，求出数列{a_n}的通项公式，先分组再利用公式计算化简
（3）利用数列{a_n}的通项公式化简

an+1＞2an-m an+1＞m

，结合正整数m，n，采用验证的方法可以得出m，n的存在性．

解答：解：（1）在a_n+1=

1

2

an+2两边减去4，得a_n+1-4=

1

2

（a_n-4），所以数列{a_n-4}是以

1

2

为公比的等比数列；
（2）数列{a_n-4}首项为a₁-4=-2，数列{a_n-4}的通项公式为a_n-4=-2×(

1

2

)n-1，
∴a_n=-2×(

1

2

)n-1+4，
∴S_n=

-2[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+4n=2^2-n+4n-4．
（3）

an+1＞2an-m an+1＞m

，即为

4-2×( 1 2 )n＞8-4×( 1 2 )n-1-m① 4-2×( 1 2 )n＞m②

由②知，n=1时，m＜3，∴m=1，代入①不成立，m=2，代入①成立．
所以存在正整数m，n，使

an+1＞2an-m an+1＞m

成立，此时m=2，n=1．

点评：本题考查数列的递推公式和通项公式，数列求和．考查推理论证，运算求解能力．