Question

【题目】已知椭圆:的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）求四边形面积的最大值；

（3）若直线与直线相交于点，判断点是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. （结论不要求证明）

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ，离心率 （Ⅱ） （Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由题意可知：m＝1，可得椭圆方程，根据离心率公式即可求出

（Ⅱ）设直线CD的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理，由SACBD＝S△ACB+S△ADB，换元，根据函数的单调性即可求得四边形ACBD面积的最大值．

（Ⅲ）点M在一条定直线上，且该直线的方程为x＝4

（Ⅰ）由题意，得 , 解得.

所以椭圆方程为.

故，，.

所以椭圆的离心率.

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，

代入椭圆的方程，得，，

又因为，，

所以四边形的面积.

当直线的斜率存在时，设的方程为，，，

联立方程 消去，得.

由题意，可知恒成立，则，

四边形的面积

，

设，则四边形的面积，，

所以.

综上，四边形面积的最大值为.

（Ⅲ）结论：点在一条定直线上，且该直线的方程为.