Question

请考生在（1）（2）中任选一题作答，每小题12分．如都做，按所做的第（1）题计分．
（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接B、D，若BC=

5

-1，求AC的长．
（2）已知双曲线C：x²-y²=2，以双曲线的左焦点F为极点，射线FO（O为坐标原点）为极轴，点M为双曲线上任意一点，其极坐标是（ρ，θ），试根据双曲线的定义求出ρ与θ的关系式（将ρ用θ表示）．

Answer 1

分析：（1）由条件可得BC=BD=DA=

5

-1，由切割线定理知BC²=CD•CA，解方程求得AC的长．
（2）由双曲线的方程知：a=

2

，b=

2

．c=2，e=

2

，

b2

c

=1，分M在双曲线的左支上和M在双曲线的右支上两种情况，利用双曲线的定义求得ρ与θ的关系式．

解答：解：（1）如图，由∠C=72°，AB=AC知，∠ABC=72°，∠BAC=36°．
由弦切角定理知∠DBC=36°，…（4分）
又∠C=72°得∠BDC=72°，∴∠ABD=72°-36⁰=36⁰，故BC=BD=DA=

5

-1，…（8分）
由切割线定理知BC²=CD•CA，即(

5

-1)2=[CA-(

5

-1)]•CA，
解得：AC=2或AC=

5

-3（舍），所以AC的长为2．…（12分）
（2）由双曲线的方程知：a=

2

，b=

2

．c=2，e=

2

，

b2

c

=1，结合图形，
当M在双曲线的左支上时，
由双曲线的定义得

ρ

b2 c -ρcosθ

=e，即

ρ

1-ρcosθ

=

2

，所以ρ=

2

1+ 2 cosθ

．（6分）
当M在双曲线的右支上时，
由双曲线的定义得

ρ

ρcosθ- b2 c

=e，即

ρ

ρcosθ-1

=

2

，所以ρ=

2

2 cosθ-1

．（12）分

点评：本题主要考查与圆相关的比例线段，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，双曲线的简单性质的应用，属于中档题．