Question

【题目】已知函数.

（1）若函数有极值，求实数的取值范围；

（2）当时，若在，处导数相等，证明：；

（3）若函数在上有两个零点，，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【解析】

（1）对函数求导，根据导函数存在穿过型零点求解；

（2）由得出，利用基本不等式得出，然后计算可得证；

（3）转化为，通过研究的单调性、极值得出的两个零点的范围，不妨设不妨设，然后分类讨论，若，则结论成立；

若，即时，构造新函数，，通过导数（需两次求导）得出的单调性，由的关系：．可证得结论，

解：（1）由题意知，

因为有极值，所以当，有解，所以.

（2）证明：，由，

得，

即，

因为，且，

所以，得，

则.

（3）证明：，

即，令，则，

则函数在上单调递减，

在上单调递增，.

令，其中，

则，

当时，，故，

从而当时有两个零点，

不妨设，

若，则结论成立；

若，即时，

令，，

则，

令，则，

∴在上单调递增，

则，

∴在上单调递减，

∴，

即在上恒成立，

∴，

∵，，

而在上单调递增，

∴，即．