Question

（2009•盐城一模）在平面直角坐标平面内，不难得到“对于双曲线xy=k（k＞0）上任意一点P，若点p在x轴、y轴上的射影分别为M、N，则|PM|-|PN|必为定值k”．类比于此，对于双曲线

x2

a2

-

y2

b2

（a＞0，b＞0）上任意一点P，类似的命题为：

若点P在两渐近线上的射影分别为M、N，则|PM|•|PN|必为定值

a2b2

a2+b2

．

Answer 1

分析：对于双曲线xy=k（k＞0）上任意一点P，若点P在x轴、y轴上的射影分别为M、N，则|PM|-|PN|必为定值k，由于x轴、y轴也是双曲线xy=k（k＞0）的渐近线，此时|PM|，|PN|分别表示P点到两条渐近线的距离，由此我们类比，对于双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一点P，|PM|•|PN|也必为定值，代入验证即可得到答案．

解答：解：由已知条件我们分析：
由于x轴、y轴也是双曲线xy=k（k＞0）的渐近线，
此时|PM|，|PN|分别表示P点到两条渐近线的距离，
由此我们类比推断，
对于双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一点P，
|PM|•|PN|也必为定值，
任取双曲线一点P（X，Y）
则|PM|•|PN|=

a2y2+b2x2

a2+b2

=

a2b2

a2+b2

故答案为：若点P在两渐近线上的射影分别为M、N，则|PM|•|PN|必为定值

a2b2

a2+b2

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．