Question

已知双曲线焦点在x轴上、中心在坐标原点O，左、右焦点分别为F₁、F₂，P为双曲线右支上一点，且，∠F₁F₂P=90°．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）若过F₁且斜率为1的直线l与双曲线的两渐近线分别交于A、B两点，△AOB的面积为，求双曲线的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设双曲线方程为，，由，∠F₁F₂P=90°及勾股定理得，由此能求出双曲线的离心率．
（Ⅱ）由，知，双曲线的两渐近线方程为．设l的方程为y=x+c，l与y轴的交点为M（0，c）．若l与y=交于点A，l与y=-交于点B，由，得；由，得，再由=，能求出双曲线方程．
解答：解：（Ⅰ）设双曲线方程为，，
由，∠F₁F₂P=90°及勾股定理得，
由双曲线定义得 ．
则．
（Ⅱ）∵，∴，双曲线的两渐近线方程为．
由题意，设l的方程为y=x+c，l与y轴的交点为M（0，c）．
若l与y=交于点A，l与y=-交于点B，
由，得；由，得，

=
=，
∴c=4，
∴a=2，则，
故双曲线方程为．
点评：本题考查双曲线的离心率和双曲线方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用双曲线的性质，合理地进行等价转化．