Question

甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏比赛，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过10次，即经10次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为p（0＜p＜1），乙获胜的概率为q（q=1-p）．假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经ξ次结束．
（1）求ξ的分布列及数学期望Eξ．
（2）求ξ的数学期望Eξ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）以P（ξ=k）记比赛经k次结束的概率，若k为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数，因而有P（ξ=k）=0，考虑两次比赛结果：①甲连胜或乙连胜两次，称为有胜负的再次，②甲乙各胜一次，称为无胜负的两次，此结果有两种情况，分别求出相应的概率，比赛以k次结束，k必为偶数，则1，2两次，3，4两次，…，k-3，k-2两次均未分胜负，从而求出P（ξ=k），列出分布列，利用数学期望公式解之即可；
（2）令2pq=x，根据Eξ=（1-x）

4

i=1

2ixi-1+10x4=2（1+x+x²+x³+x⁴）=

2(1-x5)

1-x

，以及则0＜x≤

1

2

，求出Eξ的取值范围．

解答：解：（1）以P（ξ=k）记比赛经k次结束的概率，
若k为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数，因而有P（ξ=k）=0．
考虑两次比赛结果：
①甲连胜或乙连胜两次，称为有胜负的再次，结果出现的概率为p²+q²；
②甲乙各胜一次，称为无胜负的两次，此结果有两种情况，故出现的概率为2pq．
比赛以k次结束，k必为偶数，则1，2两次，3，4两次，…，k-3，k-2两次均未分胜负．
若k≠10，则第k-1，k两次为有胜负的两次，从而有
P（ξ=k）=(2pq)

k

2

-1（p²+q²）．
若k=10，比赛必须结束，所以P（ξ=20）=（2pq）⁴．
ξ其分布表为

ξ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P	0	p2+q2	0	2pq （p2+q2）	0	4 p2q 2 （p2+q2）	0	8 p3q 3 （p2+q2）	0	16 p4q 4

综上所述Eξ=（p²+q²）

4

i=1

2i(2pq)i-1+10（2pq）⁴．
（2）令2pq=x，则0＜x=2pq≤

1

2

（p+q）²=

1

2

，
Eξ=（1-x）

4

i=1

2ixi-1+10x4=2（1+x+x²+x³+x⁴）=

2(1-x5)

1-x

∵0＜x≤

1

2

，且Eξ随x增加而增加，所以2＜Eξ≤

31

8

．

点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，以及分类讨论的数学思想，同时考查了运算求解的能力，这也是高中常见的题型，解题时认真细致，属于中档题．