Question

已知数列{a_n} 的前n项和S_n=2n²+2n，数列{b_n} 的前n项和T_n=2-b_n．
（1）求数列{a_n} 与{b_n} 的通项公式；
（2）设c_n=a_n²•b_n，求数列{c_n}的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意求出a₁=4，利用a_n=S_n-S_n-1化简可得，a_n=4n，n∈N^*，再由b_n=T_n-T_n-1，可得2b_n=b_n-1说明数列{b_n}是等比数列，由此可求数列{b_n}的通项公式．
（2）由题意c_n=a_n²•b_n，推出

Cn+1

Cn

的取值范围，由此判断数列满足c_n+1＜c_n．进而可求出数列{c_n}的最大值．

解答：解：（1）由于a₁=S₁=4
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+2n）-[2（n-1）²+2（n-1）]=4n，
∴a_n=4n，n∈N^*，
又当n≥2时b_n=T_n-T_n-1=（2-b_n）-（2-b_n-1），∴2b_n=b_n-1
∴数列b_n是等比数列，其首项为1，公比为

1

2

，∴b_n=（

1

2

）^n-1．
（2）由（1）知C₁=a₁²b_n=16n²（

1

2

）^n-1，

Cn+1

Cn

=

16(n+1)2•( 1 2 )(n+1)-1

16n2•( 1 2 )n-1

=

(n+1)2

2n2

．
由

Cn+1

Cn

＜1得

(n+1)2

2n2

＜1，解得n≥3．
又n≥3时，

(n+1)2

2n2

＜1成立，即

Cn+1

Cn

＜1，由于c_n＞0恒成立．
因此，当且仅当n≥3时c_n+1＜c_n．C₁=16，C₂=32，C₃=36，
所以数列{c_n}的最大值36．

点评：由a_n=S_n-S_n-1可求出b_n和a_n，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出b_n和a_n后，进而得到c_n，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法．考查计算能力．