Question

已知椭圆C:的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M(2，0)的直线与椭圆C交于两点A和B，设P为椭圆上一点，且满足·（O为坐标原点），当 时，求实数t取值范围。

Answer 1

（1）；（2）

解析试题分析：（1）利用圆心到直线的距离等于短半轴长及离心率为建立方程，解方程即可求出椭圆C的方程；（2）可以设直线：与椭圆方程联立，得到方程，然后结合题目条件满足·（O为坐标原点），，利用判别式及韦达定理建立不等式，可以求出t的取值范围.
试题解析：(Ⅰ) 由题意知，短半轴长为：，     1分
∵，∴，
即，∴，                               2分
故椭圆的方程为：.                    3分
（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线：，  4分
设，，，
由得，.    5分
，解得.       6分
.
∵，∴，解得，.                 7分
∵点在椭圆上，∴，
∴.                             8分
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴                10分
∴，∵，∴，
∴或，
∴实数取值范围为.            12分
考点：（1）椭圆的标准方程；（2）向量在解析几何在的应用；（3）直线与圆锥曲线的问题.