Question

（2013•潮州二模）已知椭圆C的两个焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），点A(1，

2

2

)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点B（2，0），设点P是椭圆C上任一点，求

PF

1•

PB

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，利用椭圆定义可求2a，进而可求a，结合已知c，利用b²=a²-c²可求b，进而可求椭圆方程
（2）先设P(x，y).

PF1

=(-1-x，-y)，

PB

=(2-x，-y)，利用向量的数量积的坐标表示可求

PF

1•

PB

，结合点P在椭圆上及椭圆的性质可求

解答：解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)…（1分）
由椭圆定义，2a=|AF1|+|AF2|=

(1+1)2+( 2 2 )2

+

(1-1)2+( 2 2 )2

=2

2

…（4分）
∴a=

2

，∵c=1，∴b²=a²-c²=1．…（5分）
故所求的椭圆方程为

x2

2

+y2=1．…（6分）
（2）设P(x，y).

PF1

=(-1-x，-y)，

PB

=(2-x，-y)…（7分）
∴

PF1

•

PB

=(-1-x，-y)•(2-x，-y)=(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2…（9分）
∵点P在椭圆上，
∴y2=1-

x2

2

…（10分）
∴

PF1

•

PB

=

1

2

x2-x-1=

1

2

(x-1)2-

3

2

∵-

2

≤x≤

2

…（12分）
∴x=1，

PF1

•

PB

有最小值-

3

2

；
x=-

2

，

PF1

•

PB

有最大值

1

2

×(-

2

)2+

2

-1=

2

∴-

3

2

≤

PF1

•

PB

≤

2

，
∴

PF1

•

PB

的范围是[-

3

2

，

2

]…（14分）

点评：本题主要考查了利用椭圆的定义及性质求解椭圆方程及椭圆性质的简单应用．