Question

（2013•门头沟区一模）已知椭圆与双曲线x²-y²=1有相同的焦点，且离心率为

2

2

．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，若

AP

=2

PB

，求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（I）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由椭圆与双曲线x²-y²=1有相同的焦点可得c值，由离心率可得a值，根据 平方关系可得b；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

AP

=2

PB

，得

-x1=2x2 1-y1=2(y2-1)

，设直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程整理，得（2k²+1）x²+4kx-2=0，△AOB的面积S=S_△OAP+S_△OBP=

1

2

|OP|•|x1-x2|，根据韦达定理及弦长公式即可求得答案；

解答：解：（I）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
因为椭圆与双曲线有相同焦点，
所以c=

2

，再由e=

c

a

=

2

2

可得a=2，∴b²=a²-c²=2，
故所求方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

AP

=2

PB

，得

-x1=2x2 1-y1=2(y2-1)

，
设直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程整理，得（2k²+1）x²+4kx-2=0，
解得x=

-2k± 8k2+2

2k2+1

，
若x1=

-2k- 8k2+2

2k2+1

，x2=

-2k+ 8k2+2

2k2+1

，
则-

-2k- 8k2+2

2k2+1

=2•

-2k+ 8k2+2

2k2+1

，
解得k2=

1

14

，
又△AOB的面积S=S_△OAP+S_△OBP=

1

2

|OP|•|x1-x2|=

1

2

×

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

•

2 8k2+2

2k2+1

=

126

8

，
故所求△AOB的面积是

126

8

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查平面向量的基本运算，解决（II）问的关键是恰当表示出△AOB的面积．